Разложение многочлена на множители
Для преобразования выражений, при решении уравнений, в вычислениях и ряде других задач бывает полезно заменить многочлен произведением нескольких многочленов.
Разложением многочлена на множители называется представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов.
Существует несколько способов разложения многочлена на множители:
* вынесение общего множителя за скобки;
* способ группировки;
* с помощью формул сокращенного умножения.
Вынесение общего множителя за скобки
Рассмотрим несколько примеров. Вынесем за скобки общий множитель на основе распределительного свойства умножения:
4х - 4у = 4( х-у )
ab + ac = a( b+c )
Теперь рассмотрим такой многочлен:
8х2- 12xy = 4х·2х - 4х·3у = 4х( 2х-3у )
Каждый член многочлена мы заменили произведением двух множителей, один из которых - общий множитель 4х, и вынесли этот множитель за скобки.
Разложим на множители многочлен: -10х2у + 2х3у2 - 6х4
* Найдем наибольший общий делитель коэффициентов -10, 2 и 6. Он равен 2.
* Переменная х входит во все члены многочлена с показателями 2, 3 и 4; следовательно, можно вынести за скобки х2.
* Переменная у входит не во все члены многочлена, значит, ее нельзя вынести за скобки.
Поэтому за скобки можно вынести 2х2. Правда, в данном случае целесообразнее вынести -2х2.Теперь разделим каждый член многочлена на -2х2.Получим:
-10х2у + 2х3у2- 6х4= -2х2( 5у - ху2+ 3х2)
Способ группировки
Чтобы уяснить суть способа группировки, рассмотрим следующий пример:
Разложите на множители многочлен: ху + 3х - 2у - 6
Сгруппируем его члены так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель, и вынесем его за скобки:
ху + 3х - 2у - 6 = ( ху + 3х ) + ( -2у - 6 ) = х( у + 3 ) - 2( у + 3 ) = ( у + 3 )( х - 2 )
Этот же многочлен можно разложить на множители, группируя его члены иначе:
ху + 3х - 2у - 6 = ( ху - 2у ) + ( 3х - 6 ) = у( х - 2 ) + 3( х - 2 ) = ( х - 2 )( у + 3 )
Разложим на множители трехчлен: х2- 6х + 5
Представим -6х в виде суммы -х - 5х, а затем применим способ группировки:
х2- 6х + 5 = х2- х - 5х + 5 = ( х2- х ) + (-5х + 5 ) = х( х - 1 ) - 5( х - 1 ) = ( х - 1 )( х - 5 )
Разложение многочлена на множители с помощью формул сокращенного умножения
Вот эти формулы: а2- b2= (a-b)(a+b) - формула разности квадратов;
a3- b3= (a-b)(a2+ab+b2) - формула разности кубов;
a3+ b3= (a+b)(a2-ab+b2) - формула суммы кубов;
a2+2ab+b2= (a+b)2 - квадрат суммы;
a2-2ab+b2= (a-b)2 - квадрат разности.
Рассмотрим примеры:
4х2-у2= (2х)2-у2= (2х-у)(2х+у) 9х4-х6= (3х2)2-(х3)2= (3х2-х3)(3х2+х3)
8а3+b3= (2a)3+b3=(2a+b)(4a2-2ab+b2) 27x6- 64y3= (3x2)3-(4y)3= (3x2-4y)(9x4+12x2y+16y2)
4x2-4xy+y2=(2x)2-2·2x·y+y2=(2x-y)2 25a2+40a+16=(5a)2+2·5a·4+42=(5a+4)2
В математике не так часто бывает, что при разложении многочлена на множители применяется только один способ. Чаще встречаются комбинированные примеры, где сначала используется один способ, затем другой и т. д. Например:
Разложите на множители многочлен: 27x3-18x2y+3xy2
Сначала вынесем за скобки общий множитель, затем рассмотрим трехчлен в скобках, не является ли он квадратом суммы или квадратом разности.
27x3-18x2y+3xy2=3x(9x2-6xy+y2)=3x(3x-y)2
Разложите на множители многочлен: a4+a2b2+b4
Представим a2b2 в виде 2a2b2- a2b2
a4+a2b2+b4=a4+2a2b2-a2b2+b4=(a4+2a2b2+b4)-a2b2=(a2+b2)2-(ab)2=(a2+b2-ab)(a2+b2+ab)
